Представьте, что Илон Маск решил раздать $150 млрд. Он отправляет случайной семье в США $10 млн. и делает так 15 000 раз (семьи могут повторяться).
Если в США 130 млн. семей, какова вероятность того, что по крайней мере 1 семья получит несколько платежей (два и более)?
На всякий случай: 1) Илон не проверяет, получила ли случайно выбранная семья хотя бы один платеж или нет, а выбор осуществляется всегда из полного списка всех семей; 2) да, состояние Илона сосредоточено в основном в акциях, но давайте сделаем допущение, что он может его раздать.
Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты.
Опрос в канале Telegram УК ДОХОДЪ
Правильный ответ на задачку: ~57,91% (то есть >50%, <=75%).
Этот вариант получил наименьшее количество голосов. Только ~5% респондентов проголосовали за него. Остальные ~95% ошиблись.
Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!
Решение
Эту загадку гораздо проще решить, поставив вопрос наоборот. То есть вместо того, чтобы спрашивать, какова вероятность того, что хотя бы одна семья получит несколько платежей, мы спрашиваем об обратном: какова вероятность того, что ни одна семья не получит несколько платежей (то есть 15 000 платежей уйдут только разным семьям)?
Число исходов, в которых это может произойти можно представить как:
(Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!
15000! – это факториал 15 000 = 1*2*3*4*5 … *15000, который означает число вариантов распределения 15 тыс. платежей среди этих 15 тыс. семей (в комбинаторике это называют Перемещениями).
Также, общее число вариантов, с помощью которых Илон сможет отправить платежи
= (130млн)^15тыс
, то есть платеж 1 может быть отправлен любой из 130 млн. семей, платеж 2 может быть отправлен любой из 130 млн. семей и т.д.
Таким образом, вероятность (P) возникновения нашей ситуации:
P = ((Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!) / (130млн)^15тыс
В комбинаторике Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов. Число сочетаний без повторений определяется по формуле:
(Число сочетаний выбора k=15тыс семей из n=130млн) = n!/(k!*(n-k)!) = 130млн/(15тыс!(130млн-15тыс)!)
Поэтому далее:
P = (130млн!/(15тыс!(130млн-15тыс)!)) * (15тыс!/(130млн)^15тыс)
После сокращений:
= 130млн! / ((130млн-15тыс)!*130млн^15тыс)
Раскладывая факториалы и степень получаем:
= (130млн/130млн)*((130млн-1)/130млн)*((130млн-2)/130млн)* … *((130млн-15млн+1)/130млн)
Первое отношение сокращается и мы получаем следующее произведение:
P = prod(1-i/130млн), где i = 1 до 14999, = 42.09%
Вы можете легко рассчитать это произведение, используя Python, R или даже Excel.
В конце концов, это означает, что вероятность события, при котором, по крайней мере одна семья получит несколько платежей будет:
= 1-0.4209 = 57.91%
и поэтому верен ответ >50%, <=75%.
Больше таких задачек ищите здесь.
Полезные выводы
1. Вероятность того, что произойдет КОНКРЕТНОЕ совпадение чего-либо (например, того, что конкретная семья получит платеж) может быть очень мала. Но вероятность того, что произойдет НЕКОТОРОЕ совпадение может быть высокой.
Используя другой пример: вероятность, что именно вы выиграете в лотерею может быть 1 к миллиону, но кто-то выиграет в лотерею и вероятность этого =100%.
В совокупности несколько редких событий почти неизбежно происходят.
2. Ответы на эту задачку хорошо показывают, как вероятность бросает вызов вашей интуиции.
Если бы вам дали 1 цент и вы бы могли удваивать вложения от него каждый день в течение месяца, то к концу этого периода ваше состояние оценивалось бы в … почти $11 млн.
Наш мозг очень плохо воспринимает экспоненциальную функцию и вероятности.
Неспособность точно рассчитать шансы и оценить риск может привести к всевозможным неприятностям, когда дело доходит до финансового планирования.
Например, мы часто сталкивается с оценками людей, которые интуитивно прикидывают сколько денег им понадобится через много лет для определения суммы сбережений, и обычно, они очень далеки от правильной суммы.
Очень многие сосредотачиваются на страховании жизни, игнорируя суммы выплат по инвалидности, но у вас гораздо больше шансов стать инвалидом в течение трудовых лет, чем умереть.
Что вы можете сделать, чтобы компенсировать этот недостаток человеческого мозга? Не полагайтесь на интуицию.
Когда дело доходит до оценки вероятности будущего события или прогнозирования того, сколько денег вам понадобится в будущем, велика вероятность, что вы не сможете сделать это правильно, пытаясь просто угадать. Всегда копайтесь в реальных цифрах, тренируйтесь на таких задачках или обратитесь к профессионалу.
А еще погуглите "Парадокс дня рождения".
Читайте также:
- Планирование сбережений на образование детей. Расчёт + файл Excel
-
Поиск аналогов - новая функция в нашем сервисе Анализ облигаций
и еще десятки полезных публикаций в нашем канале Telegram. Вот тут есть полный гид по каналу.
-
Управляющая компания "ДОХОДЪ", общество с ограниченной ответственностью (далее Компания) не обещает и не гарантирует доходность вложений. Решения принимаются инвестором самостоятельно. Информация, представленная здесь, не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией, а упоминаемые финансовые инструменты могут не подходить вам по инвестиционным целям, допустимому риску, инвестиционному горизонту и прочим параметрам индивидуального инвестиционного профиля.
При подготовке представленных материалов была использована информация из источников, которые, по мнению специалистов Компании, заслуживают доверия. При этом данная информация предназначена исключительно для информационных целей и не содержит рекомендаций. Никто ни при каких обстоятельствах не должен рассматривать эту информацию в качестве предложения о заключении договора на рынке ценных бумаг или иного юридически обязывающего действия, как со стороны Компании, так и со стороны ее специалистов.
Ни Компания, ни ее агенты, ни аффилированные лица не несут никакой ответственности за любые убытки или расходы, связанные прямо или косвенно с использованием этой информации. Данная информация действительна на момент ее публикации, при этом Компания вправе в любой момент внести в информацию любые изменения. Компания, ее агенты, работники и аффилированные лица могут в некоторых случаях участвовать в операциях с ценными бумагами, упомянутыми выше, или вступать в отношения с эмитентами этих ценных бумаг. Результаты инвестирования в прошлом не определяют доходы в будущем, государство не гарантирует доходность инвестиций в ценные бумаги. Компания предупреждает, что операции с ценными бумагами связаны с различными рисками и требуют соответствующих знаний и опыта.