Представим, что у нас есть инвестиционная возможность. Мы можем, либо удвоить вклад, либо потерять 3/4 денег c вероятностью 50/50. Каждый раз мы вкладываем по 1 руб. и реинвестируем весь накопленный капитал.
Какова наша ожидаемая доходность, если мы воспользуемся этой возможностью 100 раз?
Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты:
.png)
Правильный ответ на эту задачку: <= 0 А именно около — (минус) 29.3%. Такой в среднем результат мы получим, если воспользуемся указанной возможностью инвестиций.
Около 28% проголосовавших дали верный ответ. Однако ~ 72% ошиблись.
Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!
Решение
По условиям задачи, каждый раз из ста попыток:
- если инвестиции пойдут хорошо, мы удвоим наши деньги (удачный случай),
- если дела пойдут плохо, мы потеряем три четверти вложенной суммы (неудачный случай),
- и мы каждый раз реинвестируем весь накопленный капитал предыдущих попыток…
- вероятность любого отдельного исхода при этом составляет 50/50.
В общем, вопрос: насколько хороша эта идея?
Простой способ подойти к решению — рассчитать «ожидаемый» результат одной попытки.
Так как каждый из исходов одинаково вероятен, «в среднем» каждый рубль, который мы вкладываем превращается в 1.125 руб., исходя из: (2 руб. + 0.25 руб.) / 2 = 1.125 руб.
Это «положительная» ожидаемая доходность в 12.5%.
Такие ставки называются ставками с «положительным ожиданием». В среднем мы ожидаем «заработать», а не «потерять» на них деньги.
Конечно, в любой отдельной попытке мы можем понести убытки. Но поскольку наша ставка имеет положительное математическое ожидание, «со временем» мы ожидаем заработать. Фактически, по мере того, как мы делаем все больше и больше попыток, наши шансы заработать деньги приближаются к 100%, а наши шансы потерять деньги, приближаются к 0%. Короче — это «хорошие ставки».
Но в этом сценарии мы не реинвестируем прибыль. Мы «ставим» только 1 руб. на каждом ходу. Мы не взяли результат с первой попытки и не перенесли его на вторую и так далее.
Итак, если мы начнем с 1 руб. и сделаем 100 попыток, «делая ставки» с этой ожидаемой доходностью, перенося наш результат с каждого хода на следующий, мы скорее всего получим что-то вроде 1 руб. х (1.125 ^ 100) = ~ 130 тысяч руб. Верно?
К сожалению, нет.
Если мы используем реинвестирование 100 раз, наши шансы заработать деньги «упадут» до крошечных ~0,04%. То есть с вероятностью более 99.95% мы в итоге «потеряем» деньги.
Как это возможно?
Что ж, давайте подумаем о том, что происходит с нашим 1 руб., когда он проходит этот процесс «начисления сложных процентов» 100 раз.
При каждой «удаче» наше богатство умножается на 2. Но при каждой «неудаче» оно умножается на 1/4 (0.25), поскольку 3/4 теряется.
Таким образом, каждый неудачный ход отменяет два удачных хода!
То есть, если мы хотим в целом заработать деньги, число удачных попыток должно превосходить количество неудачных как минимум в два раза.
За 100 ходов нам, скорее всего, повезет 50 раз, а остальные 50 раз не повезет. Но чтобы заработать деньги по итогам ста попыток, нам нужно, чтобы повезло как минимум 67 раз, т.к. 67 / (100-67) =~ 2
Однако, по условиям задачи, за сто попыток нам повезет всего около (небольшой плюс/минус) 50 раз. Поэтому мы, скорее всего, потеряем деньги.
Чтобы найти вероятность появления 67 и более удачных попыток из 100 (это около 0.04%), нужно воспользоваться формулой Бернулли:
Вероятность P наступления ровно k успехов при проведении серии из n одинаковых и независимых испытаний с вероятностью успеха р и вероятностью неуспеха q = 1-р равна:
P(k) = Cnk * n^k * q^(n-k),
где Cnk = n! / (k!*(n-k)!) = число сочетаний из n по k, где k! - это факториал, например, 5! = 1*2*3*4*5.
Сумма вероятностей P для успехов k от 67 до 100 и будет той, что мы ищем.
Но сколько мы потеряем «в среднем»?
На самом деле есть два вида ожиданий.
- наше обычное представление об ожидании — доходе, который мы ожидаем получить без реинвестирования, называется «арифметическим» ожиданием.
- но есть и «геометрические» ожидания. Это доход, который мы ожидаем получить при использовании сложного процента (реинвестировании).
Вот формула геометрического ожидания (GE):
GE = f1^p1 * f2^p2 * f3 ^p3 * … * fn^pn,
где f — результат исхода,
а p — вероятность исхода.
В нашем случае: GE = 2^0.5 * 0.25^0.5 =~ 0.707. Это также эквивалентно среднему геометрическому.
То есть ожидаемый остаток нашего капитала составит 70.7% от начального, а ожидаемый убыток 100% — 70.7% = 29.3%. Поэтому правильный ответ на нашу задачу: <= 0
Полезные выводы
- Инвестиция может иметь положительное арифметическое ожидание, но отрицательное геометрическое ожидание.
Каждая отдельная попытка может нести в себе положительную ожидаемую доходность. Но совокупный эффект многих попыток может привести к убыткам.
В этой ситуации вы можете извлечь выгоду, реинвестируя только определенную часть прибыли (рекомендуем изучить Критерий Келли). - Всякий раз, когда «ставка» имеет ненулевой шанс полного проигрыша, ее «геометрическое» ожидание равно нулю (вы потеряете всё).
Это ситуация типа русской рулетки. Её «арифметическое» ожидание может быть положительным, но если мы продолжим испытывать удачу и повторять попытки, мы в конечном итоге застрелимся. - Среднее геометрическое крайне важно при оценке результата инвестиций.
Например, давайте рассмотрим два варианта инвестиций:
Вариант А генерирует постоянную 5% доходность каждый год,
Вариант В имеет доходность -10%, 20% и 15% за три года.
Средняя арифметическая доходность для обоих вариантов за три года составит 5%.
Однако, когда мы вычисляем среднее геометрическое, мы обнаруживаем, что Вариант А имеет среднюю годовую доходность 5%, в то время средняя годовая доходность для Варианта В будет 6.18%.
Это подчеркивает, что геометрическое среднее отражает эффект начисления сложных процентов и обеспечивает более точную оценку долгосрочной доходности.
Другой пример. Давайте сравним два инвестиционных портфеля:
Портфель Х имеет постоянную годовую доходность 8%,
Портфель Y демонстрирует нестабильную доходность с приростом 20% в один год и убытками -10% в другой год.
Средняя арифметическая доходность для обоих портфелей составит 8%.
Однако, когда мы вычисляем среднее геометрическое, мы обнаруживаем, что Портфель X имеет среднюю годовую доходность 8%, в то время как Портфель Y: всего 4.47%.
Этот пример демонстрирует, как среднее геометрическое отражает влияние волатильности (риска) на доходность. Между тем, волатильность очень важно держать под контролем (рекомендуем вот этот пост в Telegram). - В этом нет ничего нового.
Интересно, что Даниил Бернулли понял геометрическое ожидание и Критерий Келли еще в 1738 году. Более того, он примерил всё это для решения проблем страхования морских перевозок. Вот здесь размещена его оригинальная статья Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk
======
Присоединиться к ДОХОДЪ в Телеграм
Присоединиться к ДОХОДЪ в Дзен
-
Управляющая компания "ДОХОДЪ", общество с ограниченной ответственностью (далее Компания) не обещает и не гарантирует доходность вложений. Решения принимаются инвестором самостоятельно. Информация, представленная здесь, не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией, а упоминаемые финансовые инструменты могут не подходить вам по инвестиционным целям, допустимому риску, инвестиционному горизонту и прочим параметрам индивидуального инвестиционного профиля.
При подготовке представленных материалов была использована информация из источников, которые, по мнению специалистов Компании, заслуживают доверия. При этом данная информация предназначена исключительно для информационных целей и не содержит рекомендаций. Никто ни при каких обстоятельствах не должен рассматривать эту информацию в качестве предложения о заключении договора на рынке ценных бумаг или иного юридически обязывающего действия, как со стороны Компании, так и со стороны ее специалистов.
Ни Компания, ни ее агенты, ни аффилированные лица не несут никакой ответственности за любые убытки или расходы, связанные прямо или косвенно с использованием этой информации. Данная информация действительна на момент ее публикации, при этом Компания вправе в любой момент внести в информацию любые изменения. Компания, ее агенты, работники и аффилированные лица могут в некоторых случаях участвовать в операциях с ценными бумагами, упомянутыми выше, или вступать в отношения с эмитентами этих ценных бумаг. Результаты инвестирования в прошлом не определяют доходы в будущем, государство не гарантирует доходность инвестиций в ценные бумаги. Компания предупреждает, что операции с ценными бумагами связаны с различными рисками и требуют соответствующих знаний и опыта.